Kvadratūros Skaičiuoklė
Apskaičiuokite bet kurios funkcijos apibrėžtinį integralą (plotą po kreive) pasirinktame intervale. Naudokite Trapecijų arba Simpsono taisyklę ir akimirksniu gaukite tikslų skaitmeninį rezultatą.
Integravimo parametrai
Pasirinkite funkciją, intervalą ir metodą, kad skaičiuoklė automatiškai apskaičiuotų kvadratūros (integralo) reikšmę.
Galima naudoti: sin, cos, tan, sqrt, exp, log, abs, PI. Laipsnis žymimas ^ (pvz., x^3).
Apatinė (a) ir viršutinė (b) integravimo ribos.
Didesnis n reiškia smulkesnį žingsnį h ir tikslesnį rezultatą. Simpsono taisyklei n turi būti lyginis.
Simpsono taisyklė paprastai tikslesnė lygioms funkcijoms, nes aproksimuoja jas parabolėmis.
Kvadratūros rezultatai
Apskaičiuotas integralas ir tikslumo rodikliai.
Kaip veikia skaitmeninė kvadratūra?
Kvadratūra – tai istoriškai geometrijoje kilęs terminas, reiškiantis figūros ploto apskaičiavimą naudojant kvadratą lygiaverčiu plotu. Šiuolaikinėje matematikoje šis terminas dažniausiai vartojamas kalbant apie skaitmeninius integravimo metodus, kai apibrėžtinis integralas apskaičiuojamas ne analiziškai, o suskaidžius intervalą į mažus poIntervalius ir sudėjus jų plotų aproksimacijas.
Trapecijų taisyklė
Kiekvienas poIntervalio segmentas aproksimuojamas tiese, sujungiančia kraštinius taškus, todėl susidaro trapecijos formos plotas. Formulė: T = h · [f(a)/2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁) + f(b)/2], kur h = (b − a)/n. Paklaida mažėja proporcingai h².
Simpsono taisyklė
Vietoje tiesių naudojamos parabolės, kurios geriau atkartoja funkcijos kreivumą. Formulė: S = h/3 · [f(a) + 4Σf(nelyginiai) + 2Σf(lyginiai) + f(b)]. Ši taisyklė reikalauja lyginio n ir konverguoja sparčiau – paklaida mažėja proporcingai h⁴.
Praktinis pritaikymas
Skaitmeninė kvadratūra naudojama inžinerijoje, fizikoje ir statistikoje, kai funkcijos antiišvestinė nėra išreiškiama elementariomis funkcijomis (pvz., e^(-x²)) arba kai turimi tik atskiri matavimų duomenys, o ne pati funkcijos formulė.
Ji taip pat plačiai taikoma skaičiuojant plotą po kreive, darbą jėgos lauke, tikimybių tankio funkcijų integralus bei signalų apdorojime.
Mūsų skaičiuoklė leidžia palyginti abu metodus realiu laiku ir stebėti, kaip didėjant n reikšmei rezultatas artėja prie tikslios integralo vertės.
Pavyzdinis konvergencijos palyginimas
Lentelėje pateiktas ∫₀² x³ dx skaičiavimas (tiksli reikšmė = 4) skirtingam poIntervalų skaičiui n.
| PoIntervalų sk. (n) | Trapecijų taisyklė | Simpsono taisyklė | Tikslus rezultatas |
|---|---|---|---|
| 2 | 5.0000 | 4.0000 | 4.0000 |
| 4 | 4.2500 | 4.0000 | 4.0000 |
| 10 | 4.0400 | 4.0000 | 4.0000 |
| 50 | 4.0016 | 4.0000 | 4.0000 |
| 100 | 4.0004 | 4.0000 | 4.0000 |
* Simpsono taisyklė yra tiksli iki trečio laipsnio polinomams, todėl paklaida šiuo atveju lygi nuliui visiems n.
Dažniausiai užduodami klausimai
Čia rasite atsakymus į pagrindinius klausimus apie kvadratūrą ir skaitmeninį integravimą.
Kvadratūra – tai matematinis procesas, kurio metu apskaičiuojamas plotas po funkcijos kreive, t. y. apibrėžtinis integralas. Terminas kilęs iš senovės geometrijos uždavinio – rasti kvadratą, kurio plotas lygus duotai figūrai.
Trapecijų taisyklė aproksimuoja funkciją tiesės atkarpomis tarp taškų, o Simpsono taisyklė naudoja parabolinius segmentus, todėl paprastai suteikia tikslesnį rezultatą su tuo pačiu poIntervalų skaičiumi.
Paklaida priklauso nuo žingsnio ilgio h ir naudojamo metodo. Trapecijų taisyklės paklaida mažėja proporcingai h², o Simpsono taisyklės – proporcingai h⁴, todėl Simpsono metodas konverguoja greičiau.
Skaitinė kvadratūra naudojama, kai funkcijos antiišvestinė nėra išreiškiama elementariomis funkcijomis, arba kai turima tik diskretūs duomenų taškai, o ne analizinė funkcijos išraiška.